Réponse au texte concernant les paradoxes du lampadaire

Peut-on caractériser certaines distributions ?

Question : Pour quel type de distribution de probabilité $(p_{k})$ a-t-on pour tout $k$ dans { 1,2,…,n} :

$\alpha(k) \geq \alpha_e(k) = p \frac{n-k}{n-pk} \, ?$

Pour ces distributions, si elles existent, la probabilité que les clés soient effectivement sous un des lampadaires restants est toujours plus grande qu’avec la distribution uniforme.

On peut remarquer que $\alpha(k)$ est une fonction décroissante de $F(k)$ :

$\alpha(k) \geq \alpha_e(k) \iff F(k) \leq \frac{k}{n}$

On a donc pour tout $k$ dans { 1,2,…,n}:

$p_1 \geq p_2 \dots \geq p_n, \ p_i \in \left]0,1\right[,$

$p_1 \leq \frac{1}{n}, \ p_1 + p_2 \leq \frac{2}{n},$

$p_1 + p_2 + \dots + p_{n-1} \leq \frac{n-1}{n},$

$p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1.$

Dans ces conditions, les vecteurs de $\mathbb{R}^{n}$ , $P = \left(p_1, p_2, \dots, p_n\right)^t$ et $M = \left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}, \dots, \frac{1}{n}\right)^t$ , sont des vecteurs ordonnés par ordre décroissant dont les composantes ont la même somme (ici valant 1). La condition sur les sommes partielles permet l’utilisation du théorème de Hardy-Littlewood-Pólya affirmant que le vecteur $P$ est obtenu à partir de $M$ par l’application d’une matrice bistochastique.

Il existe une matrice bistochastique $A$ telle que :

$P = A M.$

Mais alors, $\left(1, 1, \dots, 1\right)^t$ est vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre 1, et donc :

$P = A \left(\frac{1}{n}, \dots, \frac{1}{n}\right)^t = \frac{1}{n} A \left(1, \dots, 1\right)^t$

$P = \frac{1}{n} \left(1, \dots, 1\right)^t = M.$

Il n’existe donc pas de telles distributions autres que la distribution uniforme elle-même.

Voici une preuve élémentaire envoyée par un étudiant, qu’en pensez-vous ?

Si $p_n < \frac{1}{n}$ , alors, pour arriver à une somme valant 1, nécessairement un des nombres $p_i$ doit compenser et être plus grand que $\frac{1}{n}$ . C’est en particulier le cas du plus grand d’entre eux : $p_1$ . Si $p_n < \frac{1}{n}$ , alors $p_1 > \frac{1}{n}$ . Or, d’après la première contrainte : $p_1 \leq \frac{1}{n}$ , ce qui est absurde. Donc : $p_n \geq \frac{1}{n}$ . La plus petite des valeurs est ainsi plus grande ou égale à $\frac{1}{n}$ , ce qui, pour la même raison, est à nouveau absurde sauf si chaque terme $p_i$ vaut $\frac{1}{n}$ .

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