Réponse à la question du texte sur la galette des rois

A-t-on vraiment :

$\frac{\sigma(X)}{E(X)} < \frac{1}{\sqrt{8}} ?$

On peut expliciter $E(X^2)$ en utilisant la valeur de $E(X)$ que nous avons déjà trouvée :

$E(X^2) = \sum_{i=k}^{n} i^2 p(X=i)$

$= \sum_{i=k}^{n} (i+1) i p(X=i) - \sum_{i=k}^{n} i p(X=i)$

En ajustant l’expression de $E(X)$ , on trouve :

$\frac{k}{k+1} \frac{k+1}{k+2} (n+2)(n+1) - E(X)$

$E(X^2) = k (n+1) \frac{nk+n+k}{(k+2)(k+1)}$

Finalement la variance $\sigma^2(X)$ de X a pour valeur :

$\frac{k}{(k+2)(k+1)^2} (n+1) (n-k)$

et pour $k \geq 2$ , on a bien effectivement :

$\frac{\sigma(X)}{E(X)} = \frac{1}{\sqrt{k(k+2)}} \sqrt{\frac{n-k}{n+1}}$

$\frac{\sigma(X)}{E(X)} < \frac{1}{\sqrt{k(k+2)}} \leq \frac{1}{\sqrt{8}}$

$\end{document}$