Combien avons-nous de sosies sur Terre ? – Discussions, le temps d'un café !

Les démographes estiment que depuis l’apparition d’Homo sapiens (il y a trois cent mille ans, le temps passe vite…) environ cent milliards d’êtres humains auraient vécu sur notre planète.

J’aimerais bien savoir combien avaient exactement le visage de Mona Lisa…

(Image générée par une IA)

Que plusieurs personnes aient pu partager exactement les traits de la Joconde, à différents moments, et dans différents lieux, est troublant. Le calcul de la probabilité de cet événement (un visage parmi tous les visages) repose déjà sur l’évaluation du nombre total des visages humains. Plus on ajoute de paramètres faciaux et plus la correspondance est difficile.

Avec la prise en compte de 7 paramètres faciaux principaux (c’est ce que nous faisons ici) et de leurs variabilités, les spécialistes évaluent à cent milliards le nombre des visages humains possibles qui en résultent. Peut-on en déduire la probabilité pour Mona Lisa de n’avoir jamais eu de sosie ? Ou un seul ? Ou au moins cinq ?

Je ne sais pas encore quel est le nombre de sosies de Mona Lisa, mais en tout cas, je suis certain d’une chose (et ce sera notre hypothèse de base) : celui-ci est négligeable comparé à l’énorme quantité de visages possibles.

Notons $X$ la variable aléatoire qui compte parmi les cent milliards d’êtres humains ayant existé, ceux qui effectivement ont le visage de la célèbre Joconde. Avec l’hypothèse de base qui a été faite, $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=10^{11}$ et $p=10^{-11}$ (je pose à chacun des $10^{11}$ individus, de façon quasi-indépendante, la question binaire : « as-tu le visage de Mona Lisa ? » La réponse est oui avec une probabilité $\frac{1}{10^{11}}=10^{-11}$ car il y a $10^{11}$ visages possibles).

Évaluer l’éventualité que Mona Lisa n’ait jamais eu de sosie revient donc à chercher $p(X=0)$ . Et comme il s’agit de quantifier un événement rare répété une grande quantité de fois avec un nombre moyen d’occurrences inférieur ou égal à 10, on peut utiliser la convergence asymptotique d’une loi binomiale vers une loi de Poisson pour supposer que $X$ suive une loi de Poisson de paramètre $\lambda =np=1$ . On sait en effet que sous ces conditions, les probabilités calculées avec la loi de Poisson seront très proches de celles calculées par la loi binomiale initiale.

Ainsi, en confondant les deux lois :

$P(X=0) = \frac{e^{-1}1^{0}}{0!} = \frac{1}{e}.$

La probabilité que Mona Lisa n’ait jamais eu de sosie est égale à $\frac{1}{e}$ et il est surprenant de trouver le « e » de l’exponentielle dans ce résultat, ne trouvez-vous pas ?

Question : Les données présentées ici ne font certainement pas l’unanimité. Il semble vraiment difficile de chiffrer avec certitude le nombre total d’êtres humains ayant vécu sur Terre depuis la nuit des temps ou encore la probabilité que deux individus partagent exactement le même visage. Et même si on admet que $X$ suive bien une loi de Poisson de paramètre $\lambda =np$ , nous ne sommes sûrs finalement ni du $n$ ni du $p$ . Un collègue affirme pourtant que, quelle que soit la loi suivie par $X$ , la probabilité que Mona Lisa n’ait jamais eu de sosie est toujours inférieure à $1/2$ pour peu que la variance de $X$ soit non nulle et inférieure à sa moyenne. Êtes-vous d’accord ?

Réponse

Laisser un commentaire Annuler la réponse