A propos des mots – Discussions, le temps d'un café !

Les mots et les mathématiques traduisent-ils une même pensée ? Visualiser une situation, la décrire par des mots ou par une formule mathématique, revient-il au même ?

Les formules mathématiques sont-elles plus simples ou plus compliquées que les mots ?

(Image générée par IA ).

Par exemple, dans sa version simple, modéliser un QCM ne pose pas de problème.

L’ énoncé comprend n questions indépendantes et pour chacune d’elles, celui qui répond a le choix entre plusieurs solutions. Supposons qu’il réponde au hasard avec une probabilité p de donner la bonne réponse.

Il y a quelques années un slogan publicitaire pour le loto assurait que 100% des gagnants avaient joué.

Ici, de façon tout aussi évidente, serez-vous d’accord pour dire (avec des mots !) que 100% de ceux qui répondent au hasard ont

soit toujours raison,
soit il existe une première fois où ils se trompent ?

Si vous dites cela, vous retrouvez, sans le savoir, la formule qui donne la somme des termes d’une suite géométrique. La probabilité, dans le premier cas, vaut $p^{n}$ et dans le second :

$\sum_{k=1}^{k=n}(1-p)p^{k-1}%$

car si la première réponse fausse arrive à la question k, c’est bien que les (k – 1) précédentes étaient justes. Finalement :

$\[ p^{n}+(1-p)\sum_{k=1}^{k=n}p^{k-1}=1$

et (pour $p\neq1)$ :

$\sum_{k=1}^{k=n}p^{k-1}=\frac{1-p^{n}}{1-p}.$

Cette identité, me direz-vous, vaut pour $\ 0\leq p<1,$ car $p$ est une probabilité, mais elle s’étend aussi aux nombres $p>1$ car le rapport

$\frac{\sum_{k=1}^{k=n}p^{k-1}}{(\frac{1-p^{n}}{1-p})}%$

est invariant dans la transformation de $p$ en $\frac{1}{p}.$

Ceci dit, on peut penser qu’un élève n’agit pas toujours au hasard, et même s’il ne connait pas la bonne réponse, il va plutôt procéder par élimination et utiliser son sens critique. En ce sens, la probabilité qu’il a de trouver la bonne réponse n’est sûrement pas une constante $p,$ comme ci-dessus, mais varie avec $k,$ notons la $p_{k}.$

La probabilité qu’il ne fasse aucune erreur s’écrit désormais $p_{1}p_{2}...p_{n}$ et le raisonnement précédent conduit à la formule :

$p_{1}p_{2}...p_{n}+(1-p_{1})+\sum_{k=2}^{k=n}(1-p_{k})p_{1}p_{2}...p_{k-1}=1$

Si par exemple $p_{k}=\frac{1}{k},$ cette relation donne un sens probabiliste à l’égalité télescopique :

$\sum_{k=2}^{k=n}\frac{k-1}{k!}=1-\frac{1}{n!}.$

D’une façon plus large si $(u_{n})_{n>0}$ est une suite décroissante de nombres strictement positifs, l’égalité télescopique :

$\sum_{k=2}^{k=n}(u_{k-1}-u_{k})=u_{1}\text{ }-u_{n}%$

prend un sens probabiliste en posant $u_{1}=p_{1}$ puis pour $k>1$ :

$p_{k}=\frac{u_{k}}{u_{k-1}}%,$

car alors $u_{k}=p_{1}p_{2}...p_{k}$ et elle s’écrit :

$\sum_{k=2}^{k=n}(1-p_{k})p_{1}p_{2}...p_{k-1}=p_{1}-p_{1}p_{2}...p_{n}%$

ou encore :

$p_{1}p_{2}...p_{n}+(1-p_{1})+\sum_{k=2}^{k=n}(1-p_{k})p_{1}p_{2}...p_{k-1}=1.$

L’égalité télescopique signifie donc simplement que 100% des étudiants répondant au hasard et ayant une probabilité $\frac{u_{k}}{u_{k-1}}$ de donner la bonne réponse à la question $k$ ont :

soit toutes leurs réponses justes,
soit une première réponse fausse…

Mais alors, trouverez-vous les mots pour dire ce que vous pensez de l’égalité télescopique suivante :

1 + 1 + 1 + … = (2 – 1) + (3 – 2) + (4 – 3)+ …= -1 + (2 – 2)+ (3- 3)+ ….= -1 ?

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