Faut-il se restreindre ? L’exemple de la galette des rois.

Pour la fête des rois, mon pâtissier propose cette année des galettes qui ont toutes des fèves de couleurs différentes, parfaitement uniques, et je suis prêt à en acheter beaucoup pour obtenir en particulier les fèves bleues, blanches, rouges, oranges et jaunes, car je les trouve vraiment originales.

(Image générée par une IA)

Bien qu’il soit tentant de viser ces cinq couleurs, ne vaut-il pas mieux me concentrer sur les seules fèves bleues, blanches et rouges, qui sont tout simplement mes trois préférées ? Dois-je restreindre mes ambitions pour éviter d’acheter (puis de manger) trop de galettes ? Je suis curieux de savoir ce que disent les mathématiques…

Le calcul montre qu’être raisonnable est ici un peu inutile. Quel que soit le nombre n de galettes et quel que soit le nombre k (compris entre 2 et n ) de fèves recherchées, il faut acheter plus des deux tiers des galettes du magasin pour espérer atteindre son objectif. Dans tous les cas, que ce soit pour obtenir toutes les fèves ou seulement deux, le nombre de galettes à acquérir en moyenne est considérable, toujours supérieur aux deux tiers du nombre total des galettes.

Alors, pourquoi se contraindre et limiter ses choix ?

On note X le nombre de galettes achetées, et on cherche E(X) , c’est-à-dire le nombre moyen de galettes à acquérir pour posséder les fèves de couleurs 1 à $k \geq 2$ :

Pour calculer $p(X=i),i \geq k,$ on suppose, dans un premier temps, que la fève de couleur $k$ est trouvée au ième (et dernier tirage). Cela se réalise avec une probabilité : $\frac{1}{n-(i-1)}.$ Puisque la ième et dernière fève est connue, on s’intéresse aux $(i-1)$ premiers tirages au cours desquels les $(k-1)$ premières fèves recherchées doivent être tirées. Comme $(i-1-(k-1))=i-k,$ cela se fait de $\binom{n-k}{i-k}$ façons parmi les $\binom{n}{i-1}$ cas possibles. Finalement, dans un second temps, si on fait jouer à chaque couleur le rôle tenu par $k$ dans le raisonnement ci-dessus, on introduit $k$ possibilités et donc :

$p(X=i) = \frac{k}{n-(i-1)}\frac{\binom{n-k}{i-k}}{\binom{n}{i-1}}$

$p(X=i) = k\frac{(i-1) \cdots (i-k+1)}{n(n-1) \cdots (n-k+1)}$

L’expression étant assez compliquée, le calcul du nombre moyen E(X) de galettes à acheter s’engage mal. On peut toutefois se faire une idée de ce qui se passe en engageant une simulation probabiliste avec Python.

Le résultat est très rassurant :

À n fixé, E(X) semble avoir un comportement hyperbolique quand k varie.
À k fixé, E(X) semble avoir un comportement linéaire quand n varie. On ne peut pas faire plus simple !

C’est effectivement ce que prouve le calcul :

$E(X) = \sum_{i=k}^{n} i p(X=i)$

$E(X) = \frac{kk!\sum_{i=k}^{n} \binom{i}{k}}{n(n-1) \cdots (n-k+1)}$

Comme $\binom{i}{k}}=\binom{i+1}{k+1}}-\binom{i}{k+1}}$ , la somme est télescopique :

$E(X) = \frac{k}{k+1} (n+1)$

Il est clair désormais que, quel que soit le nombre n de galettes et quel que soit le nombre k (compris entre 2 et n ) de fèves recherchées, il faut acheter plus des deux tiers des galettes du magasin pour espérer atteindre son objectif, car :

$\frac{E(X)}{n} = \frac{k}{k+1} \frac{n+1}{n} > \frac{k}{k+1} \geq \frac{2}{3}$

$\textbf{Question :}$ Quel que soit le nombre de galettes confectionnées et quel que soit le nombre de fèves recherchées, est-il vrai que l’écart-type $\sigma(X)$ de X vaille toujours moins que $\frac{1}{\sqrt{8}}$ fois sa moyenne :

$\frac{\sigma(X)}{E(X)} < \frac{1}{\sqrt{8}} ?$

Bon appétit à tous !

Réponse

$\end{document}$

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