Réponse au texte »A propos des mots » – Discussions, le temps d'un café !

L’égalité télescopique proposée :
$(2-1) + (3-2) + (4-3) + \ldots = -1 + (2-2) + (3-3) + \ldots$
n’a pas vraiment de sens. Certes, elle correspond dans le texte à $u_k = k$ , mais ce cas échappe bien sûr à l’étude que nous avons faite, car la suite $(u_k)$ n’est pas décroissante.
On voit immédiatement par exemple que la probabilité de bien répondre à la question $k$ :

$p_k = \frac{k}{k-1} > 1 \quad \text{pour} \quad k > 1$

est plus grande que 1, ce qui est absurde.

Par ailleurs, la somme télescopique est maintenant infinie ! L’égalité :

$\sum_{k=2}^{n} (u_{k-1} - u_k) = u_1 - u_n$

montre que cette somme ne converge lorsque $n \to +\infty$ que si et seulement si la suite $(u_n)$ est elle-même convergente, ce qui n’est absolument pas le cas ici…

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