{"id":204,"date":"2024-12-18T20:00:21","date_gmt":"2024-12-18T19:00:21","guid":{"rendered":"https:\/\/brunolovat.com\/?page_id=204"},"modified":"2024-12-19T17:19:17","modified_gmt":"2024-12-19T16:19:17","slug":"reponse-au-texte-concernant-les-paradoxes-du-lampadaire","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/brunolovat.com\/index.php\/reponse-au-texte-concernant-les-paradoxes-du-lampadaire\/","title":{"rendered":"R\u00e9ponse au texte concernant les paradoxes du lampadaire"},"content":{"rendered":"\n

<\/p>\n\n\n\n

Peut-on caract\u00e9riser certaines distributions ?<\/p>\n\n\n\n

Question :<\/strong> Pour quel type de distribution de probabilit\u00e9 \"(p_{k})\" a-t-on pour tout \"k\" dans { 1,2,…,n} :

  <\/span>   <\/span>\"\[\alpha(k) \geq \alpha_e(k) = p \frac{n-k}{n-pk} \, ?\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Pour ces distributions, si elles existent, la probabilit\u00e9 que les cl\u00e9s soient effectivement sous un des lampadaires restants est toujours plus grande qu’avec la distribution uniforme.<\/p>\n\n\n\n

On peut remarquer que \"\alpha(k)\" est une fonction d\u00e9croissante de \"F(k)\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[\alpha(k) \geq \alpha_e(k) \iff F(k) \leq \frac{k}{n}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

On a donc pour tout \"k\" dans { 1,2,…,n}:

  <\/span>   <\/span>\"\[p_1 \geq p_2 \dots \geq p_n, \ p_i \in \left]0,1\right[, \]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ p_1 \leq \frac{1}{n}, \ p_1 + p_2 \leq \frac{2}{n}, \]\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\[p_1 + p_2 + \dots + p_{n-1} \leq \frac{n-1}{n}, \]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1.\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Dans ces conditions, les vecteurs de \"\mathbb{R}^{n}\", \"P = \left(p_1, p_2, \dots, p_n\right)^t\" et \"M = \left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}, \dots, \frac{1}{n}\right)^t\", sont des vecteurs ordonn\u00e9s par ordre d\u00e9croissant dont les composantes ont la m\u00eame somme (ici valant 1). La condition sur les sommes partielles permet l’utilisation du th\u00e9or\u00e8me de Hardy-Littlewood-P\u00f3lya affirmant que le vecteur \"P\" est obtenu \u00e0 partir de \"M\" par l’application d’une matrice bistochastique.<\/p>\n\n\n\n

Il existe une matrice bistochastique \"A\" telle que :

  <\/span>   <\/span>\"\[P = A M.\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Mais alors, \"\left(1, 1, \dots, 1\right)^t\" est vecteur propre de \"A\" associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre 1, et donc :

  <\/span>   <\/span>\"\[P = A \left(\frac{1}{n}, \dots, \frac{1}{n}\right)^t = \frac{1}{n} A \left(1, \dots, 1\right)^t \]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P = \frac{1}{n} \left(1, \dots, 1\right)^t = M.\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Il n’existe donc pas de telles distributions autres que la distribution uniforme elle-m\u00eame.<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Voici une preuve \u00e9l\u00e9mentaire envoy\u00e9e par un \u00e9tudiant, qu’en pensez-vous ?<\/p>\n\n\n\n

Si \"p_n < \frac{1}{n}\", alors, pour arriver \u00e0 une somme valant 1, n\u00e9cessairement un des nombres \"p_i\" doit compenser et \u00eatre plus grand que \"\frac{1}{n}\". C’est en particulier le cas du plus grand d’entre eux : \"p_1\". Si \"p_n < \frac{1}{n}\", alors \"p_1 > \frac{1}{n}\". Or, d’apr\u00e8s la premi\u00e8re contrainte : \"p_1 \leq \frac{1}{n}\", ce qui est absurde. Donc : \"p_n \geq \frac{1}{n}\". La plus petite des valeurs est ainsi plus grande ou \u00e9gale \u00e0 \"\frac{1}{n}\", ce qui, pour la m\u00eame raison, est \u00e0 nouveau absurde sauf si chaque terme \"p_i\" vaut \"\frac{1}{n}\".<\/p>\n\n\n\n

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