{"id":137,"date":"2024-12-18T19:58:29","date_gmt":"2024-12-18T18:58:29","guid":{"rendered":"https:\/\/brunolovat.com\/?p=137"},"modified":"2025-02-13T17:44:24","modified_gmt":"2025-02-13T16:44:24","slug":"apres-plusieurs-echecs-est-il-raisonnable-de-continuer-les-deux-paradoxes-du-lampadaire","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/brunolovat.com\/index.php\/2024\/12\/18\/apres-plusieurs-echecs-est-il-raisonnable-de-continuer-les-deux-paradoxes-du-lampadaire\/","title":{"rendered":"Apr\u00e8s plusieurs \u00e9checs, est-il raisonnable de continuer ? Les deux paradoxes du lampadaire."},"content":{"rendered":"\n


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Un homme ayant perdu ses cl\u00e9s dans la nuit, les cherche de r\u00e9verb\u00e8re en r\u00e9verb\u00e8re. Il arrive au dernier\u2026 Il ne sait pas si c’est l’endroit o\u00f9 il les a perdues mais c’est le seul lieu \u00e9clair\u00e9 de la rue qu’il n’a pas encore visit\u00e9\u2026<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

En pers\u00e9v\u00e9rant, l’individu progresse dans sa recherche. A-t-il pour autant plus de chances de trouver ses cl\u00e9s lors de cette ultime tentative qu’il n’en avait \u00e0 la premi\u00e8re ? Nous avons tendance \u00e0 chercher des solutions l\u00e0 o\u00f9 il est facile de chercher et de pers\u00e9v\u00e9rer, mais cela est-il vraiment pertinent ?<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Ce n’est pas \u00e9vident.<\/p>\n\n\n\n

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Plus il y a de tentatives infructueuses, plus les chances de trouver les cl\u00e9s sous un lampadaire sont faibles : il y a en effet plus de chances de les trouver sous un des lampadaires \"{ (k+1),(k+2),...,(n) }\" que parmi les lampadaires \"{ (k+2),(k+3),..., (n) }\". En m\u00eame temps, il y a plus de chances de ne pas les trouver sous les \"k\" premiers lampadaires que sous les \"(k+1)\" premiers.<\/p>\n\n\n\n

Alors, lequel des deux effets va l’emporter ?<\/p>\n\n\n\n

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C’est le premier paradoxe du lampadaire<\/strong>. \u00c0 chaque \u00e9tape la probabilit\u00e9 \"\alpha(k)\" que les cl\u00e9s soient sous un autre lampadaire, sachant qu’elles n’\u00e9taient pas sous les premiers, diminue avec le nombre de tentatives \"k\". Cependant la probabilit\u00e9 \"\beta(k)\", de les trouver \u00e0 chaque nouveau lampadaire, sachant qu’elles n’\u00e9taient pas sous les pr\u00e9c\u00e9dents, est toujours plus grande qu’au d\u00e9part\u2026<\/p>\n\n\n\n

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Comment raisonner ? Globalement, les \"n\" lampadaires \u00e9clairent une certaine proportion \"p\" de la rue. Pour nous, \"p\" est donc un nombre connu strictement compris entre 0 et 1 exprimant tout simplement la probabilit\u00e9 que les cl\u00e9s soient \u00e9clair\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n

Tous les lampadaires ne sont pas \u00e9quivalents, il y a plus de chances de trouver les cl\u00e9s \u00e0 certains endroits plut\u00f4t qu’\u00e0 d’autres. On note \"p_k\" la part qui revient au r\u00e9verb\u00e8re \"(k)\". Autrement dit, la probabilit\u00e9 que les cl\u00e9s soient au pied du lampadaire \"(k)\" vaut : \"p \cdot p_k\". On suppose aussi que l’individu commence sa recherche par les endroits qui sont les plus probables, on suppose donc :

  <\/span>   <\/span>\"\[p_1 \geq p_2 \geq \ldots \geq p_n, \quad p_i \in ]0,1[, \]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\text{et } p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1.\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

On d\u00e9signe enfin par \"F\" la fonction de r\u00e9partition associ\u00e9e \u00e0 la distribution des \"(p_i)\" de la fa\u00e7on suivante :<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[F(0)=0,F(i)=p_1 + p_2 \ldots + p_i ,\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[F(n)= 1.\]\"<\/p>
<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

D\u00e8s lors, la probabilit\u00e9 \"\alpha(k)\" que les cl\u00e9s soient sous un des \"(n-k)\" lampadaires restants sachant qu’elles n’\u00e9taient pas sous les \"k\" premiers est donn\u00e9e par :

  <\/span>   <\/span>\"\[\alpha(k) = \frac{p (p_{k+1} + \ldots + p_n)}{(1-p) + p (p_{k+1} + \ldots + p_n)} \]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\alpha(k) = 1 + \frac{1-p}{p F(k) - 1}.\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

On remarque effectivement que \"\alpha(k)\" est une fonction d\u00e9croissante de \"k\". \u00c0 chaque \u00e9tape \"k\", la probabilit\u00e9 \"\alpha(k)\" que les cl\u00e9s soient sous un des lampadaires restants, sachant qu’elles n’\u00e9taient pas sous les \"k\" premiers, diminue bien avec \"k\".<\/p>\n\n\n\n

Par ailleurs, savoir qu’il y a eu \"k\" \u00e9checs avant la \"(k+1)\"-i\u00e8me tentative donne \u00e0 la probabilit\u00e9 \"\beta(k)\" de la pr\u00e9sence des cl\u00e9s sous ce \"(k+1)\"-i\u00e8me lampadaire une valeur plus grande que celle qu’elle avait a priori au d\u00e9part :

  <\/span>   <\/span>\"\[\beta(k) = \frac{p \cdot p_{k+1}}{(1-p) + p \cdot (p_{k+1} + \ldots + p_n)} }.\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\beta(k)= \frac{p \cdot p_{k+1}}{1 - p F(k)} \geq p p_{k+1} }.\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Ce calcul montre en particulier que pour \"u_k = 1 - p \cdot F(k)\":

  <\/span>   <\/span>\"\[\beta(k) = 1 - \frac{u_{k+1}}{u_k},\]\"<\/p>
et donc que cette probabilit\u00e9 est maximale lorsque le quotient \"\frac{u_{k+1}}{u_k}\" est minimal, et r\u00e9ciproquement.<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Ceci conduit au second paradoxe du lampadaire<\/strong> : la probabilit\u00e9 de trouver ses cl\u00e9s apr\u00e8s une succession d’\u00e9checs peut \u00eatre plus grande sous un lampadaire autre que le premier, m\u00eame si ce dernier \u00e9tait a priori le plus probable\u2026 Par exemple :<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

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L’histoire est int\u00e9ressante, car elle permet de d\u00e9crire la t\u00e9nacit\u00e9 de quelqu’un qui s’accroche \u00e9chec apr\u00e8s \u00e9chec en poursuivant son effort. Dans cette description, la forme de la distribution de la probabilit\u00e9 \"(p_k)\" est importante. Si, par exemple, l’individu n’a aucune id\u00e9e de l’endroit o\u00f9 il a perdu ses cl\u00e9s, il peut supposer les lampadaires \u00e9quiprobables : pour tout lampadaire \"k\" dans {1,2,…,n} : \"p_k = \frac{1}{n}\".
<\/p>\n\n\n\n

Dans ce cas, la pers\u00e9v\u00e9rance de l’individu repose beaucoup sur l’espoir de trouver la cl\u00e9 sous un des lampadaires non encore explor\u00e9s. Apr\u00e8s \"k\" \u00e9checs, cette probabilit\u00e9 s’\u00e9crit avec l’hypoth\u00e8se d’\u00e9quiprobabilit\u00e9 des lampadaires :

  <\/span>   <\/span>\"\[\alpha_e(k) = p \cdot \frac{n-k}{n-pk}.\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Question<\/strong> : Parmi toutes les distributions \"(p_k)\" possibles, la distribution \u00e9quiprobable \"(p_k=1/n)\" est-elle optimale au sens o\u00f9 pour tout \"k\" dans \"{ 1,2,\ldots,n }\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[\alpha(k) \geq \alpha_e(k) \quad =>\alpha(k) =\alpha_e(k)?\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

R\u00e9ponse.<\/a><\/strong><\/p>\n\n\n\n

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Un homme ayant perdu ses cl\u00e9s dans la nuit, les cherche de r\u00e9verb\u00e8re en r\u00e9verb\u00e8re. Il arrive au dernier\u2026 Il ne sait pas si c’est l’endroit o\u00f9 il les a perdues mais c’est le seul lieu \u00e9clair\u00e9 de la rue qu’il n’a pas encore visit\u00e9\u2026 En pers\u00e9v\u00e9rant, l’individu progresse dans sa recherche. A-t-il pour autant … <\/p>\n

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