{"id":254,"date":"2025-02-09T11:39:45","date_gmt":"2025-02-09T10:39:45","guid":{"rendered":"https:\/\/brunolovat.com\/?p=254"},"modified":"2025-02-13T17:23:44","modified_gmt":"2025-02-13T16:23:44","slug":"faut-il-se-restreindre-lexemple-de-la-galette-des-rois","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/brunolovat.com\/index.php\/2025\/02\/09\/faut-il-se-restreindre-lexemple-de-la-galette-des-rois\/","title":{"rendered":"Faut-il se restreindre ? L’exemple de la galette des rois."},"content":{"rendered":"\n


<\/p>\n\n\n\n

Pour la f\u00eate des rois, mon p\u00e2tissier propose cette ann\u00e9e des galettes qui ont toutes des f\u00e8ves de couleurs diff\u00e9rentes, parfaitement uniques, et je suis pr\u00eat \u00e0 en acheter beaucoup pour obtenir en particulier les f\u00e8ves bleues, blanches, rouges, oranges et jaunes, car je les trouve vraiment originales.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

(Image g\u00e9n\u00e9r\u00e9e par une IA)<\/p>\n\n\n\n

Bien qu’il soit tentant de viser ces cinq couleurs, ne vaut-il pas mieux me concentrer sur les seules f\u00e8ves bleues, blanches et rouges, qui sont tout simplement mes trois pr\u00e9f\u00e9r\u00e9es ? Dois-je restreindre mes ambitions pour \u00e9viter d’acheter (puis de manger) trop de galettes ? Je suis curieux de savoir ce que disent les math\u00e9matiques\u2026<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Le calcul montre qu’\u00eatre raisonnable est ici un peu inutile. Quel que soit le nombre n de galettes et quel que soit le nombre k (compris entre 2 et n ) de f\u00e8ves recherch\u00e9es, il faut acheter plus des deux tiers des galettes du magasin pour esp\u00e9rer atteindre son objectif. Dans tous les cas, que ce soit pour obtenir toutes les f\u00e8ves ou seulement deux, le nombre de galettes \u00e0 acqu\u00e9rir en moyenne est consid\u00e9rable, toujours sup\u00e9rieur aux deux tiers du nombre total des galettes.<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Alors, pourquoi se contraindre et limiter ses choix ?<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

On note X le nombre de galettes achet\u00e9es, et on cherche E(X) , c’est-\u00e0-dire le nombre moyen de galettes \u00e0 acqu\u00e9rir pour poss\u00e9der les f\u00e8ves de couleurs 1 \u00e0 \"k \geq 2\" :<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Pour calculer \"p(X=i),i \geq k,\" on suppose, dans un premier temps, que la f\u00e8ve de couleur \"k\" est trouv\u00e9e au i\u00e8me (et dernier tirage). Cela se r\u00e9alise avec une probabilit\u00e9 :\"\frac{1}{n-(i-1)}.\" Puisque la i\u00e8me et derni\u00e8re f\u00e8ve est connue, on s’int\u00e9resse aux \"(i-1)\" premiers tirages au cours desquels les \"(k-1)\" premi\u00e8res f\u00e8ves recherch\u00e9es doivent \u00eatre tir\u00e9es. Comme \"(i-1-(k-1))=i-k,\" cela se fait de \"\binom{n-k}{i-k}\" fa\u00e7ons parmi les \"\binom{n}{i-1}\" cas possibles. Finalement, dans un second temps, si on fait jouer \u00e0 chaque couleur le r\u00f4le tenu par \"k\" dans le raisonnement ci-dessus, on introduit \"k\" possibilit\u00e9s et donc :<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[p(X=i) = \frac{k}{n-(i-1)}\frac{\binom{n-k}{i-k}}{\binom{n}{i-1}}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[p(X=i) = k\frac{(i-1) \cdots (i-k+1)}{n(n-1) \cdots (n-k+1)}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

L’expression \u00e9tant assez compliqu\u00e9e, le calcul du nombre moyen E(X) de galettes \u00e0 acheter s’engage mal. On peut toutefois se faire une id\u00e9e de ce qui se passe en engageant une simulation probabiliste avec Python.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Le r\u00e9sultat est tr\u00e8s rassurant :<\/p>\n\n\n\n