{"id":338,"date":"2025-03-01T19:45:58","date_gmt":"2025-03-01T18:45:58","guid":{"rendered":"https:\/\/brunolovat.com\/?p=338"},"modified":"2025-03-02T18:22:03","modified_gmt":"2025-03-02T17:22:03","slug":"combien-avons-nous-de-sosies-sur-terre","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/brunolovat.com\/index.php\/2025\/03\/01\/combien-avons-nous-de-sosies-sur-terre\/","title":{"rendered":"Combien avons-nous de sosies sur Terre ?"},"content":{"rendered":"\n


Les d\u00e9mographes estiment que depuis l’apparition d’Homo sapiens (il y a trois cent mille ans, le temps passe vite\u2026) environ cent milliards d’\u00eatres humains auraient v\u00e9cu sur notre plan\u00e8te. <\/p>\n\n\n\n

J’aimerais bien savoir combien avaient exactement le visage de Mona Lisa\u2026<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

(Image g\u00e9n\u00e9r\u00e9e par une IA)<\/p>\n\n\n\n

Que plusieurs personnes aient pu partager exactement les traits de la Joconde, \u00e0 diff\u00e9rents moments, et dans diff\u00e9rents lieux, est troublant. Le calcul de la probabilit\u00e9 de cet \u00e9v\u00e9nement (un visage parmi tous les visages) repose d\u00e9j\u00e0 sur l’\u00e9valuation du nombre total des visages humains. Plus on ajoute de param\u00e8tres faciaux et plus la correspondance est difficile.<\/p>\n\n\n\n

Avec la prise en compte de 7 param\u00e8tres faciaux principaux (c’est ce que nous faisons ici) et de leurs variabilit\u00e9s, les sp\u00e9cialistes \u00e9valuent \u00e0 cent milliards le nombre des visages humains possibles qui en r\u00e9sultent. Peut-on en d\u00e9duire la probabilit\u00e9 pour Mona Lisa de n’avoir jamais eu de sosie ? Ou un seul ? Ou au moins cinq ?<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Je ne sais pas encore quel est le nombre de sosies de Mona Lisa, mais en tout cas, je suis certain d’une chose (et ce sera notre hypoth\u00e8se de base) : celui-ci est n\u00e9gligeable compar\u00e9 \u00e0 l’\u00e9norme quantit\u00e9 de visages possibles.<\/p>\n\n\n\n

Notons \"X\" la variable al\u00e9atoire qui compte parmi les cent milliards d’\u00eatres humains ayant exist\u00e9, ceux qui effectivement ont le visage de la c\u00e9l\u00e8bre Joconde. Avec l’hypoth\u00e8se de base qui a \u00e9t\u00e9 faite, \"X\" suit une loi binomiale de param\u00e8tres \"n=10^{11}\" et \"p=10^{-11}\" (je pose \u00e0 chacun des \"10^{11}\" individus, de fa\u00e7on quasi-ind\u00e9pendante, la question binaire : \u00ab\u00a0as-tu le visage de Mona Lisa ?\u00a0\u00bb La r\u00e9ponse est oui avec une probabilit\u00e9 \"\frac{1}{10^{11}}=10^{-11}\" car il y a \"10^{11}\" visages possibles).<\/p>\n\n\n\n

\u00c9valuer l’\u00e9ventualit\u00e9 que Mona Lisa n’ait jamais eu de sosie revient donc \u00e0 chercher \"p(X=0)\". Et comme il s’agit de quantifier un \u00e9v\u00e9nement rare r\u00e9p\u00e9t\u00e9 une grande quantit\u00e9 de fois avec un nombre moyen d’occurrences inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 10, on peut utiliser la convergence asymptotique d’une loi binomiale vers une loi de Poisson pour supposer que \"X\" suive une loi de Poisson de param\u00e8tre \"\lambda =np=1\". On sait en effet que sous ces conditions, les probabilit\u00e9s calcul\u00e9es avec la loi de Poisson seront tr\u00e8s proches de celles calcul\u00e9es par la loi binomiale initiale.<\/p>\n\n\n\n

Ainsi, en confondant les deux lois :<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P(X=0) = \frac{e^{-1}1^{0}}{0!} = \frac{1}{e}.\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

La probabilit\u00e9 que Mona Lisa n’ait jamais eu de sosie est \u00e9gale \u00e0 \"\frac{1}{e}\" et il est surprenant de trouver le \u00ab\u00a0e\u00a0\u00bb de l’exponentielle dans ce r\u00e9sultat, ne trouvez-vous pas ?<\/p>\n\n\n\n

Question : <\/strong>Les donn\u00e9es pr\u00e9sent\u00e9es ici ne font certainement pas l’unanimit\u00e9. Il semble vraiment difficile de chiffrer avec certitude le nombre total d’\u00eatres humains ayant v\u00e9cu sur Terre depuis la nuit des temps ou encore la probabilit\u00e9 que deux individus partagent exactement le m\u00eame visage. Et m\u00eame si on admet que \"X\" suive bien une loi de Poisson de param\u00e8tre \"\lambda =np\", nous ne sommes s\u00fbrs finalement ni du \"n\" ni du \"p\". Un coll\u00e8gue affirme pourtant que, quelle que soit la loi suivie par \"X\", la probabilit\u00e9 que Mona Lisa n’ait jamais eu de sosie est toujours inf\u00e9rieure \u00e0 \"1/2\" pour peu que la variance de \"X\" soit non nulle et inf\u00e9rieure \u00e0 sa moyenne. \u00cates-vous d’accord ?<\/p>\n\n\n\n

R\u00e9ponse<\/a><\/strong><\/p>\n\n\n\n

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