![\"Les](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/uploads\/2024\/10\/Mots-1024x576.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\n(Image g\u00e9n\u00e9r\u00e9e par IA ).<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Par exemple, dans sa version simple, mod\u00e9liser un QCM ne pose pas de probl\u00e8me.<\/p>\n\n\n\n
L\u2019 \u00e9nonc\u00e9 comprend n<\/em> questions ind\u00e9pendantes et pour chacune d\u2019elles, celui qui r\u00e9pond a le choix entre plusieurs solutions. Supposons qu’il r\u00e9ponde au hasard avec une probabilit\u00e9 p<\/em> de donner la bonne r\u00e9ponse. Il y a quelques ann\u00e9es un slogan publicitaire pour le loto assurait que 100% des gagnants avaient jou\u00e9. Ici, de fa\u00e7on tout aussi \u00e9vidente, serez-vous d\u2019accord pour dire (avec des mots !) que 100% de ceux qui r\u00e9pondent au hasard ont<\/p>\n\n\n\n Si vous dites cela, vous retrouvez, sans le savoir, la formule qui donne la somme des termes d\u2019une suite g\u00e9om\u00e9trique. La probabilit\u00e9, dans le premier cas, vaut \n\n \n\n<\/p>\n\n\n\n <\/span> <\/span> car si la premi\u00e8re r\u00e9ponse fausse arrive \u00e0 la question k<\/em>, c\u2019est bien que les (k<\/em> – 1) pr\u00e9c\u00e9dentes \u00e9taient justes. Finalement :\u00a0 <\/span> <\/span> et (pour <\/span> <\/span> <\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Cette identit\u00e9, me direz-vous, vaut pour \n\n \n\n<\/p>\n\n\n\n <\/span> <\/span> est invariant dans la transformation de Ceci dit, on peut penser qu’un \u00e9l\u00e8ve n’agit pas toujours au hasard, et m\u00eame s’il ne connait pas la bonne r\u00e9ponse, il va plut\u00f4t proc\u00e9der par \u00e9limination et utiliser son sens critique. En ce sens, la probabilit\u00e9 qu’il a de trouver la bonne r\u00e9ponse n’est s\u00fbrement pas une constante La probabilit\u00e9 qu’il ne fasse aucune erreur s’\u00e9crit d\u00e9sormais <\/span> <\/span> Si par exemple <\/span> <\/span> D’une fa\u00e7on plus large si <\/span> <\/span> prend un sens probabiliste en posant <\/span> <\/span> car alors <\/span> <\/span> ou encore :<\/p>\n\n\n\n <\/span> <\/span> L\u2019\u00e9galit\u00e9 t\u00e9lescopique signifie donc simplement que 100% des \u00e9tudiants r\u00e9pondant au hasard et ayant une probabilit\u00e9
<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n\n
<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n![\"p^{n}\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-def0d09617a92d31cfb425d4301814b5_l3.png\" "\\"Rendered")
et dans le second :<\/p>\n\n\n\n![\"\[ \sum_{k=1}^{k=n}(1-p)p^{k-1}% \]\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-197ae1f6aae04c5504502e1ff8f35b16_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n![\"\[ \[ p^{n}+(1-p)\sum_{k=1}^{k=n}p^{k-1}=1 \]\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-99996aef18fac87a8c71604689d0f68f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n![\"p\neq1)\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1855f3ac016624b81e186e76515ef820_l3.png\" "\\"Rendered")
:![\"\[ \sum_{k=1}^{k=n}p^{k-1}=\frac{1-p^{n}}{1-p}. \]\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87129cab69a77e1fdf09692a9d20c6bd_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\n![\"\ 0\leq p<1,\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc036244df12cdf983fc98abe1b2204f_l3.png\" "\\"Rendered")
car ![\"p\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5faad0904f612a3fa5b27faafb8dc903_l3.png\" "\\"Rendered")
est une probabilit\u00e9, mais elle s’\u00e9tend aussi aux nombres ![\"p>1\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb474e48842df10de7186ceac3f6c428_l3.png\" "\\"Rendered")
car le rapport<\/p>\n\n\n\n![\"\[ \frac{\sum_{k=1}^{k=n}p^{k-1}}{(\frac{1-p^{n}}{1-p})}% \]\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d42b43cea4a6f213ec23d6eee283ade7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\n en\n![\"\frac{1}{p}.\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-297165a2be91b50021cb1ba89d1d2722_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"p,\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2a660c2640759a7dd4740f78448ac3e_l3.png\" "\\"Rendered")
comme ci-dessus, mais varie avec ![\"k,\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-835b93c0c40b93382611fadc62c54c50_l3.png\" "\\"Rendered")
notons la ![\"p_{k}.\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9f8a5a7ecc4e5a9e8634eba433488bc1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"p_{1}p_{2}...p_{n}\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f48851450c471cc9f90e4ecbde502761_l3.png\" "\\"Rendered")
et le raisonnement pr\u00e9c\u00e9dent conduit \u00e0 la formule : ![\"\[ p_{1}p_{2}...p_{n}+(1-p_{1})+\sum_{k=2}^{k=n}(1-p_{k})p_{1}p_{2}...p_{k-1}=1\]\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c700c2592054057fa9c84e8b92ce53a4_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\n![\"p_{k}=\frac{1}{k},\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1a6c603ac1b8d71c8c6b5ad4b9a2af73_l3.png\" "\\"Rendered")
cette relation donne un sens probabiliste \u00e0 l’\u00e9galit\u00e9 t\u00e9lescopique :<\/p>\n\n\n\n![\"\[\sum_{k=2}^{k=n}\frac{k-1}{k!}=1-\frac{1}{n!}.\]\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0e47d3a83579fa6fcaf0c633206b4c04_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\n![\"(u_{n})_{n>0}\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f4dfa185ca1a882ef370fd429cc317a3_l3.png\" "\\"Rendered")
est une suite d\u00e9croissante de nombres strictement positifs, l’\u00e9galit\u00e9 t\u00e9lescopique :<\/p>\n\n\n\n![\"\[\sum_{k=2}^{k=n}(u_{k-1}-u_{k})=u_{1}\text{ }-u_{n}%\]\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cc709ba3555fb62afa98e7b03b18c8e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\n![\"u_{1}=p_{1}\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b7f19e9dcd1dd31bb327f96567c4ae40_l3.png\" "\\"Rendered")
puis pour ![\"k>1\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76b1d6dbe5ee35b66ff33156e238ad73_l3.png\" "\\"Rendered")
:![\"\[p_{k}=\frac{u_{k}}{u_{k-1}}%, \]\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ebbc8c947442902545c4cbfd227fe4d3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> <\/p>\n\n\n\n![\"u_{k}=p_{1}p_{2}...p_{k}\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c9d5d5b8a0c338aa3c31717bfffb716_l3.png\" "\\"Rendered")
et elle s’\u00e9crit :![\"\[\sum_{k=2}^{k=n}(1-p_{k})p_{1}p_{2}...p_{k-1}=p_{1}-p_{1}p_{2}...p_{n}%\]\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-705b6bc81e8113db4b6f77c2d47c92fb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\n![\"\[p_{1}p_{2}...p_{n}+(1-p_{1})+\sum_{k=2}^{k=n}(1-p_{k})p_{1}p_{2}...p_{k-1}=1.\]\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-074c18ce3fb10b6029c14606b9fbeee6_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n\n\n\n![\"\frac{u_{k}}{u_{k-1}}\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7d0cc8441c92830535353c86c57020e_l3.png\" "\\"Rendered")
de donner la bonne r\u00e9ponse \u00e0 la question ![\"k\"](\"https:\/\/brunolovat.com\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d42bc2203d6f76ad01b27ac9acc0bee1_l3.png\" "\\"Rendered")
ont :<\/p>\n\n\n\n\n
<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
Mais alors, trouverez-vous les mots pour dire ce que vous pensez de l\u2019\u00e9galit\u00e9 t\u00e9lescopique suivante :<\/p>\n\n\n\n
1 + 1 + 1 + \u2026 = (2 – 1) + (3 – 2) + (4 – 3)+ \u2026= -1 + (2 – 2)+ (3- 3)+ \u2026.= -1 ? <\/p>\n\n\n\n